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Petit théoréme de Fermat résumé:

En mathématiques, le petit théorème de Fermat est un résultat de l'arithmétique modulaire, qui peut aussi se démontrer avec les outils de l'arithmétique élémentaire.

Il s'énonce comme suit. Si a est un entier non divisible par p tel que p est un nombre premier, alors a^p-1 -1 est un multiple de p. Le corollaire de ce théorème est que, pour tout a entier et p nombre premier, alors a ^p -a est un multiple de p.

Il doit son nom à Pierre de Fermat (1601 - 1665) qui l'énonce la première fois le 18 octobre 1640.

Source Wikipédia http://fr.wikipedia.org/wiki/Petit_th%C3%A9or%C3%A8me_de_Fermat

Rappel : nombres premiers de Mersenne :

si alors est-il premier?

non : ne fonctionne pas par exemple pour 2¹¹

Conjecture des nombres premiers en corolaire du petit théorème de Fermat

alors n est premier si <=>

Se lit : si le reste de 2ⁿ-2 / n est 0 <=> si le reste de 2^n-1-1 /n est 0 : si vous n'ètes pas habituer avec et (mod) voir Arithmétique modulaire sur ce site

En corolaire du petit théorème de Fermat, a=2; si le reste (équivalence informatique: modulo(dividende/diviseur) ou résidu) de a ⁿ-a/a = 0 alors n est premier (sinon n n'est pas premier) Exemple: le reste de 2⁵-2/5 <=> (32-2)/5 est = à 0

Ce n'est qu'une conjecture car il faut pouvoir le démontrer (*),2 ⁿ dépassant vite les capacités de calculs des calculateurs classique...

Il est trés important de considerer dans cette conjecture que seule une puissance de 2, sépare bien les nombres entiers en 2 ensembles de nombres , premiers et non premiers

Se lit : si le reste de 2^n-2 / n est différent de 0

(*) Le professeur Henry Cohen de l'université de Bordeaux note "On ne peut rien conclure si 2^n-1 -1 est divisible par n, mais il est assez probable dans ce cas que n soit premier)

Histoire des nombres Edition Tallandier 2007, paragraphe l'intrigue des nombres premiersI

En effet, cette conjecture semble ne pas étre vrai pour (n< 1000) 341,561,645 !!!:

a^p-1 -1 est un multiple de p est une conjecture prouvée en supposant que a/p b/p ce qui n'est pas forcément vrai...

Commentaires

Matrice illustrant cette conjecture (a=2)

e petit théorème de Fermat n'isole pas les nombres non premiers:

Exemples :

a=3 n=6 , 6 n'étant pas premier , le reste de 3⁶-3/3 devarit étre <> 0

nb: 3 tout comme 2 est premier...

n	3⁶	3⁶-3	726/6	Reste
6	729	726	121	0

pour a=5 , n=10

n	5¹⁰	5¹⁰ -5	5¹⁰ -5/5	Reste
10	9765625	9765620	976562	0

Il semblerai pour tout n/a = 2 ... CQFD

pour a= 4 c'est pire...

n	4ⁿ	4ⁿ-4	4ⁿ-4/4	r
2	16	12	6	0
3	64	60	20	0
4	256	252	63	0
5	1024	1020	204	0
6	4096	4092	682	0
7	16384	16380	2340	0

Petit préambule - notes:

si l'on veut savoir si un nombre est divisible par un autre de tête il suffit:

si il est pair : le diviser par 2

si il est impair: lui ôter une mesure (<- comme l'aurait écrit Fermat....)

Cet algorithme est issue d'un traitement binaire simple

n	2ⁿ	2ⁿ– 2	2ⁿ– 2 / n	Reste
1	2	0	0	0
2	4	2	1	0
3	8	6	2	0
4	16	14	3 1/2	1/2
5	32	30	6	0
6	64	62	10 1/3	1/3
7	128	126	18	0
8	256	254	31 3/4	3/4
9	512	510	56 2/3	2/3
10	1024	1022	102 1/5	1/5
11	2048	2046	186	0
12	4096	4094	341 1/6	1/6
13	8192	8190	630	0
14	16384	16382	1170 1/7	1/7
15	32768	32766	2184 2/5	2/5
16	65536	65534	4095 7/8	7/8
17	131072	131070	7710	0
18	262144	262142	14563 4/9	4/9
19	524288	524286	27594	0
20	1048576	1048574	52428 5/7	5/7
21	2097152	2097150	99864 2/7	2/7
22	4194304	4194302	190650 1/9	1/9
23	8388608	8388606	364722	0
24	16777216	16777214	699050 4/7	4/7
25	33554432	33554430	1342177 1/5	1/5
26	67108864	67108862	2581110 1/9	1/9
27	134217728	134217726	4971026 8/9	8/9
28	268435456	268435454	9586980 1/2	1/2
29	536870912	536870910	18512790	0
30	1073741824	1073741822	35791394 1/9	1/9
31	2147483648	2147483646	69273666	0
32	4294967296	4294967294	134217727 8/9	8/9
33	8589934592	8589934590	260301048 1/6	1/6
34	17179869184	17179869182	505290270 1/9	1/9
35	34359738368	34359738366	981706810 4/9	4/9
36	68719476736	68719476734	1908874353 5/7	5/7
37	137438953472	137438953470	3714566310	0