Le petit théorème : Définition officielle

En mathématiques, le petit théorème de Fermat est un résultat de l'arithmétique modulaire, qui peut aussi se démontrer avec les outils de l'arithmétique élémentaire.

Il s'énonce comme suit. Si n est un entier non divisible par p tel que p est un nombre premier, alors n  ^p-1 -1 est un multiple de p. Le corollaire de ce théorème est que, pour tout n entier et p nombre premier, alors n ^p - n est un multiple de p.

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Il doit son nom à Pierre de Fermat (1601 - 1665) qui l'énonce la première fois le 18 octobre 1640.

Objection / précision

L'on peut lire selon les différentes publications sur le petit théorème de Fermat soit :

Exemple : 4^3-1 - 1 = 16 - 1 = 15 divisible par 3 (=5)

ou

Exemple : 4³ - 4 = 64 - 4 = 60 divisible par 3 (=20)

L'on peut penser que si l'on factorise n ^p - n par n ,l'on obtient:

n[n  ^p-1 -1] mais la congruence devient fausse !!!!.

Un simple exemple :10⁵-10 = 100000-10 = 99990 divisible par5 , mais 10⁵-10 = 10(10⁴-1) = 10 ^5-1 -1 = 10000-1 = 9999 est non divisible par 5 , donc attention, n ne doit pas être un multiple de p

Que signifie :

Si nous divisons n par p le reste de la division est 0

exemple:

le reste de 12 / 4 = 0 ,

sera noté : 12 0 (mod p)

Plus de précisions sur:

C'est pour cela que la démonstration qui suit s'applique à la formule telle qu'elle a été énoncée par Fermat :

Le petit théorème : Démonstration selon Pierre de Fermat

Propriétés de la formule des poly-polygonaux  qui seront utilisées

Soit la formule             et que nous développons le numérateur alors nous obtiendrons une expression de forme :

(exp signifie exposant , ! signifie factorielle)

Exemple :

Dans une lettre adressée par Pierre de Fermat à Roberval le 4 Novembre 1636 on trouve l'expression suivante :

Cette expression est aussi utilisée par Fermat dans son théorème sur les poly-polygonaux.

Si l'on développe le numérateur:

n*n*n*n*n*n*n + n*n*n*n*n*n*6 +n*n*n*n*n*n*5+ n*n*n*n*n*5*6 +...+ n*1*2*3*4*5*6

= 1n⁷+6n⁶+5n⁶+30n⁵+......+720n¹

Nous obtenons en premier terme : 1 seul n⁷ , puis un certain nombre de n⁶ , de n⁵ , n⁴ .... et en dernier 720n¹ = 720n

Le développement exact est égal à :

Si l'on considère que Fermat a développé ce théorème pour toutes les puissances de n, il est bien sur totalement exclu  , pour trouver tous les indices de n (exemple ci-dessus 1,21,175,735,1634,1764,720), que Fermat ai procédé un calcul manuel.

Notation n! = Factorielle n

au lieu d'écrire 1x2x3x4... n , l'on note n!

Exemple : 1x2x3x4 , se note 4! et est égal à 24

Programme PC

Le programme pour développer ce type d'expression est accessible sur :

Rappels:

30n⁵ , 30 est l'indice de n, 5 est l'exposant de n

a*b:  a et b sont des facteurs

n(n+1) : n et n+1 sont des facteurs

Trouver chaque indice est fastidieux (voir le simplificateur d'equation de ce site) ; Néanmoins nous pouvons trouver très facilement la somme de ces indices.

Comment trouver la somme des indices?

Soit ,si nous remplaçons n par 1 (n=1) alors nous obtenons:

La somme des indices sera égale à la factorielle du dénominateur

Pour l'exemple ci dessus  n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6) si n=1 alors =  1(2)(3)(4)(5)(6)(7) = 7!  = 5040 et bien égal à 1+21+175+735+1634+1764+720

Autres propriétés du développement du numérateur:

Soit :

=

L'exposant de n du PREMIER terme = le nombre de facteurs

l'indice de n du PREMIER terme= 1

L'exposant de n du DERNIER terme = 1

L'indice de n du DERNIER terme = factorielle -1 du nombre de facteurs.

Dans l'exemple :

le dernier terme : (7-1)!n = 6!n = 1*2*3*4*5*6n

autre exemple:

nota n = 1n

Nombre de facteurs du numérateur=4

Le premier développement =

1n*1n*1n*1n = 1n⁴

L'exposant de n = nb facteurs

L'indice de n = 1

Le dernier développement =

L'exposant de n= 1

L'indice de n =

1n*1*2*3 = 6n = (4-1)!n = 3!n

Démonstration du petit théorème de Fermat

Nombres premiers et factorielle

Si un nombre est premier , c'est à dire divisible que par lui même ou par 1, alors seul le dernier facteur de la factorielle est divisible par ce nombre.

Exemple , 7 est premier, alors 7! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 seul le dernier facteur : 7 est divisible par 7 (ou par 1), et non pas les autres facteurs : 2,3,4,5,6 (l'on obtient soit un décimal soit un réel)

L'on en déduit aussi que si un nombre est premier alors sa factorielle moins 1 n'est pas divisible par ce nombre., 2 x 3 x 4 x 5 x 6 n'est pas divisible par 7.

Bien sûr : p! 0 (mod p)

n     0 (mod p ) signifie que le reste de la division de n  / p = 0 

n     0 (mod p ) signifie que le reste de la division de n  par p  est différent de 0

Regroupement des indices de n en 3 termes : p! = a+b+c

Regroupons la somme totale (p!) des indices de n issus du développement de n(n+1)(n+2)....  en 3 termes A+B+C = p!:

Le PREMIER terme A   est égal à 1

Le TROISIÈME terme C  est égal à (p-1)!

Le DEUXIÈME terme B = p! - 1 - (p-1)! = p! - [ (p-1)! + 1 ]

Rappel

la somme totale des indices de n = factorielle diviseur

n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) =

1n⁵+10n⁴+35n³+50n²+24n

somme des indices = 120

Table de factorielles

Si p est premier:

Soit p! = (A+B+C) = 1 + p!-[(p-1)!+1] + (p-1)! Si p est premier , p! divisible par p , (p-1)! n'est pas divisible par p , et 1 n'est pas divisible par p

Exemple : 7! = 1 + 7!-(6!-1) +6! = 7! divisible par 7 , 6! n'est pas divisible par 7 ,(p- 1 ) !   0 mod p (voir ci dessus)

si 1+B+C 0 (mod p), puisque C n'est pas divisible par p alors C-1 est divisible par p

B+(C-1) 0 (mod p)

Si nous retirions 1 a B alors nous aurions (B-1) + C 0 (mod p) qui impliquerais que C est aussi divisible par p ce qui n'est pas le cas !!!!

Si l'on s'intéresse qu'à la somme du premier terme de n = 1 et du troisième terme = (p-1)! dont la somme est divisible par p alors (p-1)! est un nombre qui, ajouté à 1, est divisible par p. Cette expression est une addition modulaire qui se note :

N.B : Du coup , le DEUXIÈME terme  = p! - [ (p-1)! + 1 ]  0 (mod p)

Dans A+B+C , si B n'était pas divisible par p , A+C étant divisible par p , A+B+C ne serait pas divisible par p

Le deuxième terme = 5040 - 721 = 4319 divisé par 7 = 617

Puissance de 1 (identité de 1)

Dans beaucoup de théories sur les nombres nous retrouvons très souvent le problème suivant:

Tout nombre élevé à une puissance  (  1)  est différent de lui même sauf 1.

Par exemple 3² = 9 alors que 1=1⁰,1=1¹,1*1=1²,1*1*1=1³,1*1*1*1=1⁴....1ⁿ = 1

Ce qui se traduit par :  1+(p-1)!    0 (mod p) = 1^x+(p-1)!    0 (mod p) , qui veut dire que l'égalité reste toujours vrai pour n'importe quelle puissance de 1.

Multiplication de 1+(p-1)!  par n

Nous venons de démontrer que : Soit le développement de n(n+1)(n+2)...(n+p-1) = [1n^p]+[an^p-1+bn^p-2+...]+[(p-1)!n] ,si p premier alors :

L'indice de n du premier terme 1n^p = 1 plus l'indice de n du dernier terme (p-1)!n = (p-1)!  est divisible par p .

1+(p-1)! 0 (mod p) = 1* [1+(p-1)!] 0 (mod p)

Connaître à quoi correspond 1:

Si nous multiplions 1*[1+(p-1)!] 0 (mod p)  par n , nous obtenons  n[1+(p-1)!] 0 (mod pn)

par exemple 1 + 720 = 721 divisible par 7 , si n=10 alors 10+7200 = 7210 divisible par 7 et divisible par 10 donc divisible par 70. Nous pouvons donc en déduire que si p est premier alors n+n(p-1)! 0 (mod np) ,  n+n(p-1)! 0 (mod n) et surtout :

Pour p premier , soit le développement de n(n+1)(n+2)(n+p-1) , le dernier terme (p-1)!n + n sera divisible par p

Exemple , dans le dernier terme de  1n⁵+10n⁴+35n³+50n²+24n , 24n + n = 25n est divisible par 5

Conclusion

Si p premier, n(n+1)(n+2)(n+p-1) = 1n^p+....+(p-1)!n , 1n^p +(p-1)!n     0 (mod p)

si au dernier terme (p-1)!n j'ajoute n et je retranche au premier terme n.

Le premier terme n^p moins n , revient à ajouter un n au dernier terme de l'addition du développement de n(n+1)(n+2)...

Video youtubes

 Conjecture des nombres premiers en corollaire du petit théorème de Fermat

Nombre premier de Mersenne

si alors est-il premier?

non : ne fonctionne pas par exemple pour 2¹¹

Nombre premier et petit théorème

En corolaire du petit théorème de Fermat, a=2; si le reste (équivalence informatique: modulo(dividende/diviseur)  ou résidu) de a ⁿ-a/a  = 0 alors n est premier (sinon n n'est pas premier) Exemple: le reste de 2⁵-2/5 <=> (32-2)/5 est = à 0

Ce n'est qu'une conjecture car il faut pouvoir le démontrer (*),2 ⁿ dépassant vite les capacités de calculs des calculateurs classique...

Il est trés important de considerer dans cette conjecture que seule une puissance de 2, sépare bien les nombres entiers en 2 ensembles de  nombres , premiers et non premiers

Se lit : si le reste de  2^n-2 / n est différent de 0

(*) Le professeur Henry Cohen de l'université de Bordeaux note "On ne peut rien conclure si 2^n-1 -1 est divisible par n, mais il est assez probable dans ce cas que n soit premier)

Histoire des nombres Edition Tallandier 2007, paragraphe l'intrigue des nombres premiersI

En effet, cette conjecture semble ne pas étre vrai pour (n< 1000) 341,561,645 !!!:

Commentaires

Exemples :

a=3 n=6 , 6 n'étant pas premier , le reste de 3⁶-3/3 devrait étre <> 0

nb: 3 tout comme 2 est premier...

pour a=5 , n=10

Il semblerai pour tout n/a = 2 ... CQFD

pour a= 4 c'est pire...

Suite de cette étude

Petit truc sur nombre premiers

si l'on veut savoir si un nombre est divisible par un autre de tête il suffit:

si il est pair : le diviser par 2

si il est impair: lui ôter une mesure (<- comme l'aurait écrit Fermat....)

Cet algorithme est issue d'un traitement binaire simple et du PGCD

exemple;

221 est-il divisible par 7?

221-7=214

214/2=107

107-7=100

50/2=27

27-7=20

20/2=10

10/2=5

221 n'est pas divisible par 7

(31*7 reste 4)

91 est t-il divisible par 7?

91-7=84

84/2=42

42/2=21

21-7=14

14-7=7

Patrick Stoltz le 18/10/2009 maj 2014/2020