Pourquoi 4n+1 et 4n-1

Soit un nombre impair quelquonque (premier ou non) , il peut être représenté sous la forme n+(n+1)=2n+1 ou n+(n-1)=2n-1.

Hors cette représentation d'un nombre impair à l'inconvenient d'avoir deux possibilités.

Par exemple 7 peut être égal à 3+4 = 2(3)+1 ou 4+3 = 2(4)-1

Autre inconvenient (2n-1)² = (2n-1)² , voir ci-contre

Pour palier à cela Pierre de Fermat choisi donc d'adopter une seule forme pour un nombre impair = 4n+1 ou 4n-1

Exemples : 7 ne peut être représenté que par 4(2)-1 , 13 = 4(3)+1

Si vous êtes gêné par le -1 de 4n-1 l'on peut aussi représenter un nombre impair de forme 4n-1 en 4n +3 , par exemple 7 = 4(1)+3 ;

(2n+1)² = 4n²+4n+1

4n(n+1) + 1

4 fois le produit d'un nombre et le suivant +1

(2n-1)² = 4n²+4n+1

4(n-1)n + 1

4 fois le produit d'un nombre et le précédent +1

Dans 4n+1 = 2n + 2n+1 et 4n-1 = 2n-1 + 2n nous distinguons bien la parité de 2n (pair) et (2n+1) ou (2n-1) impair ce qui n'est pas le cas de 2n+1 = (n ) + (n+1) n ou n+1 peuvent être pair ou impair et vise versa

représentation de la séquence de N

Nota un pair de forme 4n+2 divisé par 2 devient impair (2n+1)

+3² = (4(1)-1)² est de la forme 4n+1 ...

Congruence de 4n+1 ou 4n-1

Si 4n+1  premier alors

4n+1 peut aussi être représenté par  3n + (n+1) et donc n+1 est non divisible par 3 , n+1 0 (mod 3) équivaut à 4n+1 = 4(n+1) - 3 0 (mod 3)

4(n-2) + 9 est aussi 0 (mod 3)

d'autre part 4n+1 = 4(n-1)+5 donc n-1 0 (mod 5)

Pour 4n-1 c'est l'inverse

se dit: congru

4(n) + 1 peut se noter

4(n)+1 1 (mod 4)

ou

4(n) - 1

4(n) -1 -1 (mod 4)

(4n+1)² et (4n-1)² survol

Soit un nombre impair de la forme 4n+1 ou de la forme 4n-1 :

Dans sa forme (4n+1)² => 4(2n)(2n+1)+1 nous pouvons écrire : 4 fois le produit d'un nombre pair suivi du nombre impair qui le suit + 1 est égal à (4n+1)² ; dans (2n+1)² = 4n(n+1) + 1 nous ne connaissons pas la parité de n et de n+1

[4n + 1] + 4n² = (2n+1)² et non pas un 2n-1²

[4n-1]+4n² est différent de (2n-1) ²

Si (4n+1) (4n-1) = (4n)²-1 nest pas un carré ni la somme de 2 carrés

Il n'existe pas de nombre impair au carré de forme 4n-1

Fermat à sa lettre à Roberval : ... j'ai autrefois démontré qu'un nombre moindre de l'unité qu'un multiple du quaternaire (4n-1) n'est ni un carré ni composé de deux carrés ...

multiplication de deux 4n-1 quelconque

Extrait d'une Lettre de Fermat à Roberval:

...Si un nombre est divisé par le plus grand carré qui le mesure (divise) , et que le quotient se trouve mesuré (divisible) par un nombre premier moindre de l'unité d'un quaternaire (4n-1) , le nombre donné n'est ni un carré, ni composé de deux carrés , ni en entier ni en fractions. Exemple soit donné 84 ; le plus grand carré qui le mesure est 4 , le quotient 21 , lequel est mesuré par 3 ou bien par 7 moindres de l'unité qu'un multiple de 4 (de forme 4n-1) , je dis que 84 n'est ni un carré ni composé de deux carrés , ni en entiers, ni en fractions...

Multiplication de deux 4n-1 différents:

Soit S=4s-1 et D = 4d-1 impairs cherchons la valeur de x et y, S<>D sinon = (4n-1)²

RAPPELS

S=x+y

D=x-y

x=(S+D)/2

Y=(S-D)/2

exemple S=11 D=5

x=8 y=3

S=8+3 D=8-3

(x+y)(x-y)=x²-y²

Vérifications:

x²-y² : soit x = 2(s+d)-1 = 2s+2d-1=2s-2d+4d-1 = 2(s-d)+4d-1 donc

si je divise par [2(s-d)]² =>

On en conclus donc que le produit de 2 deux quaternaires diminués d'une unité n'est pas un carré ni la somme de deux carrés.

Si dans cette démonstration on utilise 4s+3 4d+3 j'obtiens le même résultat en remplaçant [4d-1] par [4d+3]

4n-1 n'est pas un carré , la piste du livre5 question 12

Diviser l'unité en deux parties telles que la somme de chaque partie et d'un nombre donné soit un carré.

le nombre donné est 6 , et il faut produire 2 carrés 6+1/2+m et 6+1/2-m...

C'est à partir de cette question que Fermat à élaborer cette nouvelle arithmétique :

...Mais voici ce que j'ai découvert depuis sur le sujet de la proposition 12 du livre Véme de Diophante ; en quoi j'ai suppléé ce que Bachet avoue n'avoir su ...

Je reviendrai en détail sur la séparation d'un carré en 2 carrés (descente infinie) , mais je vous en livre le résumé;

donc 4n+1 peut être décomposé en :  

OBS DE FERMAT. Cette limitation est vraie et générale , puisqu'elle exclut tous les nombres inutiles ; il faut que le nombre donné ne soit pas impair et que le quotient de son double , augmenté d'une unité par le plus grand carré qui le mesure , ne puisse être divisé par aucun nombre premier égal à un multiple de 4 diminué de 1

4n-1 n'est pas un carré par 2z

Soit un  2Z quelconque (et non pas de forme 4z²) issu d'un Z premier = x²+y² =Z (et non pas Z²) quelconque de forme 4n+1 , 4n- 1 = 4n+1 -2

Z =2s(s+1) + 2d(d+1) + 1² = (s+d+1)²+(s-d)² alors Z-2 =

2s(s+1) + 2d(d+1) - 1² = (s+d+1)²+(s-d)²-2

4n+1 - 2 = 4n-1 n'est pas un carré ni la somme de 2 carrés

Par contre si 4n+1 premier , 4n+1 - 4 = 4(n-1) +1 est n'est pas forcement premier et donc pas forcément une autre somme de 2 carrés ...

Rappel chapitre prédédent:

  Z=2s(s+1) + 2d(d+1)+1

=

(s+d+1)²+(s-d)²