Une hypoténuse est la somme de 2 carrés

Z=x²+y² Hypoténuse (surface) d'un triangle dit quelconque

son coté  ou

Exemple ou

Diviser Z²=(x²+y²)² en 2 autres carrés :  Z²=(x²+y²)² = 4x²y² + (x²-y²)²

Détails

S = (x+y) D= (x-y)

S=x+y D=x-y , x=(S+D)/2 et y= (S-D)/2

Exemple S=11 D=3 => x=7 y=4 => S=(7+4) D=(7-4)

S*D = (x+y)(x-y) = x²-y²

S*D + y² = x² et S*D + 2y² = x²+y²

Divisibilité de SD par 3

4xy = S² - D² =>

S=(x+y) D=(x-y)

Arithémique modulaire :

L'arithmétique modulaire est utilisée pour noter le reste d'une division euclidienne et/ou la division d'un nombre (et non le résultat) :

si le reste est 0 alors ce nombre et divisible par un autre nombre

exemples :

se dit: congrue

Un nombre impair peut donc se noter :

2(n) + 1

2(n)+1 1 (mod 2)

ou

2(n) - 1

2(n) -1 -1 (mod 2)

si S et D sont impair...

Soit le produit de 2 nombres S*D impair alors D<S et je note S=2s +1 , D = 2d+1

J'utilise 2 nombres impairs pour obtenir en résultat 2 nombres entiers et non par divisé par 2

SD = [ 2s+1 ]*[ 2d + 1 ] = 4sd +2s + 2d + 1²

4sd = (s+d)²-(s-d)² et factorisation de +2(s) + 2(d)

SD = (s+d)²-(s-d)² +2(s + d) + 1²

je réorganise en (s+d)²+2(s + d)*1 + 1²-(s-d)²

(s+d)²+2(s+d)*1 + 1² = (s+d+1)²

Soit SD impair alors+ SD + 2(s-d)² => Z= (s+d+1)²+(s-d)²

Que s ou d soient pair ou impair alors Z est la somme de 2 carrés dont l'un est pair et l'autre impair

Si un des 2 nombres est pair de forme donc de forme 2n alors son carré = 4n²

quelques exemples:

2s+1=s + (s+1)

4sd=(s+d)²-(s-d)²

a²+2ab+b² = (a+b)²

En résumé :

nota:

[2s+1] = s+(s+1)  ; [2d+1] = d+(d+1)

Soit SD+2y² D<S alors (s-d) négatif devient positif (- (s-d) )²

Soit SD+2y² => (s-d)² = (d-s)²

Si S=D alors => s=n , d=n => [2(n)+1][2(n)+1]+0² = (2n+1)²

Si S et D = 0 alors 1*1 = 1² + 0²

Si D=1 , d=0 alors [ 2(s)+1 ][ 2(d) + 1 ]+2(s-d)² devient  [ 2(s)+1 ]*1+2(s)² = (s+1)²+s²

Exemples : 11*1 + (s)² = [2(5)+1]*1+2*5² =11 + 50 = (5+1)² + 5² = 6²+5² = 61

7*1 = [2(3)+1]*1 +2*3² =7+18 = (3+1)²+3² = 4²+3² = 25  .... = 5² ....

Z= (s-d + 2d+1)² + (s-d)² = (s-d + D)² + (s-d)²

A ce stade il est TRES IMPORTANT de noter que pour TOUT S*D nous ne produisont PAS des 4n+1 premiers à tous les coups (si par exemple S ou D non premier...)

Pourquoi ce système ?

Celà peut paraître tiré par les cheveux et une complexité inutile et pourtant :

Déjà nous pouvons voir plusieurs avantages :

Cela permet de poser des équations en évitant de dire à chaque fois si S et D impair et de poser des équations sans fractions , en effet si S ou D , S=(x+y); D=(x-y) est pair alors je dois écrire x=(S+D)/2 ; y = (S-D)/2 , par exemple S=10 D=3 => x=13/2 y=7/2 , S= (13/2+7/2)=20/2=10 .....

Soit Z = X² + Y² cela permet de quantifier x²+y² = (s+d+1)² + (s-d)²

Puisque s+d+1 est aussi égal à s-d+2d+1 celà permet de noter x²-y² :

(s+d+1)² - (s-d)² =  (s-d+2d+1)² - (s-d)² =>si n=s-d alors x²-y² = (n+2d+1)²-n² > x²+y² = (n+2d+1)²+n²

Permet de différencier 1 d'une factorisation et 1 une unité , et aussi 1 de 1²

par exemple n²+n = n(n+1) , 1 est issu d'une factorisation ; si Z = 4²+1² quelle est la valeur de 1² ? un nombre de la forme 4n+1 est t'il 4n+1 ou 4n+1² ....

si 4n+1 est premier alors Z = x²+y²

Nous formons des hypoténuses de la forme 4n+1 mais nous ne prouvons pas que cette hypoténuse formée est première , nous cherchons maintenant l'inverse

Livre III question 22  (L3Q22) :

OBS DE FERMAT. Un nombre premier qui surpasse de 1 tout multiple de 4 , est une seule fois l'hypoténuse d'un triangle rectangle (formé de coté entiers), son carré deux fois, son cube trois fois , sa quatrième puissance quatre fois, etc à l'infini.

Nous pouvons en déduire que :

Nous avons formé ces hypoténuses à partir de SD produit de 2 nombres impair *1 (donc D et D premier ) et non pas 3 nombres impairs

Avec 3 nombres impairs nous aurions SD=abc*1 = (ab)c*1 ou a(bc)*1 si je nomme le troisième facteur k impair nous avons kSD ou SkD donc

Pour que 2Z soit la somme de 2 carrés il faut k²(S²+D²) et non pas  k(S²+D²)

Si 1*premier = 4(n) + 1 alors 2Z = 2*premier = 8n + 2  ; 2Z - 2 n (mod 8)

Si k pair 2*premier n'est plus premier parce que divisible par 2

Donc cela suppose qu'a partir d'un double premier de forme 8n+2 nous pouvons former un double carré impair.

Soit un 2Z premier = 2Z(k=1) = (S² + D²)*1 = (2s+1)²+(2d+1)² =

(k=1) [ 4s(s+1) + 1² + 4d(d+1) + 1² ]

(voir ci contre)

(k=1)2Z =(k=1)[ 4s(s+1) + 1² + 4d(d+1) + 1² ]

4s(s+1)*1 + 4d(d+1)*1 + 2*1²*1

2Z(k=1) /2 = 2s(s+1)*1 + 2d(d+1)*1 + 1*1²*1 = Z*1

Par exemple Z = 10² + 1² = 101 = 2[5*6 + 4*5] + 1 = 2*50 +1

2Z = 202 = 11² + 9²   

(2n+1)² =

4n²+4n+1² =

4n(n+1) + 1²

n(n+1) 0 (mod 2)

2n(n+1) 0 (mod 4)

est un triangulaire

Concordance entre Z = 2s(s+1) + 2d(d+1) +1² et (s+d+1)²+(s-d)²

Un des moyens les plus simple est de faire à l'ancienne : si z = x²+y² alors 2Z = (x+y)²+(x-y)² , les deux termes sont impairs

Soit x²+y² avec un des 2 pair alors il suffit de faire l'inverse de ce que demontré précédemment:

Z * 2 =2Z  = S²+D² : par exemple 29 = 5²+2² => 58 = 7²+3²

Dans un peu plus de détails : S= 2s+1 , D= 2d+1 2Z = 4s(s+1) + 4d(d+1) + 2*1²

2Z = 4s(s+1) +1² + 4d(d+1) +1² = (2s+1)² + (2d+1)²

 vérification 2s(s+1) + 2d(d+1) +1² = (s+d+1)²+(s-d)²

Dans encore plus de détails : Z =

quelques formules complémentaires