Nombres Oblong

Le produit de deux nombres entiers consécutifs s'exprime sous la forme ou .

C'est la base de toute équation "Diophantesque"

Nombres triangulaires

le n-ième nombre triangulaire est égal à la somme des n premiers entiers naturels non nuls

exemple pour n=4 , 1+2+3+4 = 10

C'est aussi un nombre oblong / 2

Exemple: pour n=4 , 4(4+1)/2 = 10

Formule complémentaire:

un nombre élevé au carré - ce nombre = nombre de rang inférieur au carré augmenté de ce nombre moins une unité

Exemple ci contre: 3²-3 = 2²+(3-1)

9-3=4+2=6

Peut étre la base du petit théorème de Fermat ...

exemple pour n=5 : 5(5-1)=(5-1)²+4=20

Glossaire:

Rang: position dans la somme (exemple 6 est au rang 3)

Altitude : hauteur d'un rang (exemple 3 au troisième rang) dans ce cas = à n

Ce terme est utiliser entre autre dans la conjecture de Syracuse; Il n'est pas employé par Fermat ce qui rend tres difficile sa traduction

T = Triangulaire

TC= Triangulaire Carré

P=Pyramidal

PC = Pyramidal Carré

Nombres triangulaires carrés

Animation de nombres carrés : une altitude se "plie"pour former un nouveau carré

C'est une somme n de nombres impairs

C'est aussi la somme de 2 nombres triangulaire - n

exemple : 6+6-3 = 3²

L'on constate qu'une altitude est égale à un "A" dans une topologie de carré impaire

si la racine carrée d'une altitude est entière alors l'on produit une somme de carré

Qielques formules

n	2n-1 (A)	TC (n²)	(A+1)/2
1	1	1	1
2	3	4	2
3	5	8	3
4	7	12	4
5	9	16	5
6	11	20	6
7	13	24	7
8	15	28	8
9	17	32	9
10	19	36	10
11	21	40	11
12	23	44	12
13	25	48	13
14	27	52	14
15	29	56	15

TC=Somme des altitudes jusqu'au rang n

"Pliage" d'altitude

Nombres polygonaux et conjecture de Fermat

La formule originale de Diophante est : ou P désigne le nombre des angles polygonaux

Matrice des polygonaux selon Diophante

	Nombres de cotés du polygone
x	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	3	4	5	6	7	8	9	10
3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	10	16	22	28	34	40	46	52
5	15	25	35	45	55	65	75	85
6	21	36	51	66	81	96	111	126
7	28	49	70	91	112	133	154	175
8	36	64	92	120	148	176	204	232
9	45	81	117	153	189	225	261	297
10	55	100	145	190	235	280	325	370
11	66	121	176	231	286	341	396	451
12	78	144	210	276	342	408	474	540
13	91	169	247	325	403	481	559	637
14	105	196	287	378	469	560	651	742
15	120	225	330	435	540	645	750	855
16	136	256	376	496	616	736	856	976
17	153	289	425	561	697	833	969	1105
18	171	324	477	630	783	936	1089	1242
19	190	361	532	703	874	1045	1216	1387

Cotés des nombres polygonaux

Observation de Fermat sur l'étude du problème de Diophante : Etant donné un nombre polygonal trouver le coté

Nous avons trouvé une belle et admirable proposition que nous placerons ici sans démonstration.

Dans la progression des nombres naturels commençant par l'unité, un nombre quelconque, multiplié par celui qui le suit et qui est plus grand, fait le double du triangulaire de ce nombre;

La multiplication du triangulaire, par le nombre qui le suit et qui est plus grand dans la progression, donne le triple du pyramidal;

Le produit du pyramidal, par le nombre suivant de la progression, donne le quadruple du triangulo--triangulaire, et ainsi à l'infini par une méthode générale et uniforme; et je ne pense pas qu'on puisse donner sur les nombres un théorème plus beau et plus général, je n'ai ni le loisir ni la convenance d'insérer la demonstration à la marge

source:Oeuvres mathématiques et de l'arithmétique de diophante par E.Brassine aux éditions Jacques Gabay

; :

Qui par déduction donne l'expression suivante :

On retrouve dans les notes du 4 Novembre 1636 de Fermat à Roberval l'expression suivante

Ce qui est bien le quadruple du Triangulo-triangulaire , car divisé par 1.2.3 , et non pas 1.2.3.4

Matrice des cotés de nombres polygonaux

	2! (T)	3! (P)	4!(TT)	5!	6!	7!
	2	6	24	120	720	5040
n=1	1	1	1	1	1	1
2	3	4	5	6	7	8
3	6	10	15	21	28	36
4	10	20	35	56	84	120
5	15	35	70	126	210	330
6	21	56	126	252	462	792
7	28	84	210	462	924	1716
8	36	120	330	792	1716	3432
9	45	165	495	1287	3003	6435
10	55	220	715	2002	5005	11440
11	66	286	1001	3003	8008	19448
12	78	364	1365	4368	12376	31824
13	91	455	1820	6188	18564	50388
14	105	560	2380	8568	27132	77520
15	120	680	3060	11628	38760	116280
16	136	816	3876	15504	54264	170544
17	153	969	4845	20349	74613	245157
18	171	1140	5985	26334	100947	346104
19	190	1330	7315	33649	134596	480700
20	210	1540	8855	42504	177100	657800
21	231	1771	10626	53130	230230	888030
22	253	2024	12650	65780	296010	1184040

Un nombre de la colonne T (2!) est égal à la somme de n

Un nombre de la matrice P est trouvé par la somme du nombre trouvé à [n-1,"!"] + [n,"!"-1]

Remarque:

La colonne !1 n'existe pas car ce n'est pas un Polygonal mais un oblong

En bleu foncé : indices du triangle de Pascal pour n=4

En bleu clair : indices du triangle de Pascal pour n=6

Triangle de Pascal :

	i=0	1	2	3	4	5	6	7	8
n=0	1	0
1	1	1	0
2	1	2	1	0
3	1	3	3	1	0
4	1	4	6	4	1	0
5	1	5	10	10	5	1	0
6	1	6	15	20	15	6	1	0
7	1	7	21	35	35	21	7	1	0
8	1	8	28	56	70	56	28	8	1

Un nombre du triangle de Pascal est trouvé par la somme du nombre trouvé à [n-1,i] + [n-1,i-1]

Une ligne n de ces nombre est aussi égale aux nombres trouvés dans un développement (x+y)ⁿ

exemple: (x+y)⁴ = 1x⁴ + 4x³y¹+ 6x²y² + 4x²y³+ 1y⁴

nota: à partir de 1654 Fermat et Pascal échangeaient bon nombres de correspondances principalement sur le "problème (statistique) des partis de jeux"

Expression d'équivalence coté de Fermat / triangle de Pascal

Divisibilité de n(n+1)(n+2)...

Pourquoi cette serie est divisible par sa factorielle?

Dans la formule des cotés des polygones de Fermat, l'on constate que n(n+1)(N+2)... est toujours divisible par la factorielle du nombre de facteurs.

Par exemple la factorisation de 3 nombres consécutifs est toujours divisible par 6 (1x2x3 = factorielle 3), de 4 nombres consécutifs est toujours divisible par 24 (4!)...

Je n'ai pas de démonstration mathématique satisfaisante mais une solution logique à proposer

Soit la serie suivante:

DivisIble par 2 (en gras)	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Divisible par 3 (en gras)	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16

Dans la ligne Divisible par 2, un nombre sur 2 est divisible par 2.

Dans la ligne Divisible par 3, un nombre sur 3 est divisible par 3.

Donc si l'on multiplie 3 nombres consecutifs, dans cette serie de facteurs, au moins un nombre (ou 2) sera divisible par 2 et au moins un nombre sera divisible par 3.

L'on peut dors et déjà dire que : La multiplication de trois nombres consécutifs sont divisible par 6, 4 nombres par 24 ...

Nombres de nombres divisibles et nombres premiers:

Si dans une serie de 3 nombres , cette serie contient 2 nombres premiers alors obligatoirement le 3eme nombre est forcement divisible par 6

Exemple 11,12,13 , 12 est le nombre non premier divisible par 6.