Ce que nous pouvons, fort heureusement, résumer en:

Déninition Diophantesque dite altervative

Si on considère un nombre n comme étant entier ou fractionnaire alors :

si l'on multiplie tous les termes de l'addition par a/b

si n = a/b

Notez que l'expression n²-n-1 = 0 est une équation simple du second degrés :

n²-n-1=0 => an²+bn+c=0 pour a=1 , b= -1 , c=-1

Pour n > 0

Par factorisation par n :  

Dans le Livre 1 Question XXX , Diophante fait constamment usage à l'expression suivante :

4 fois le produit de 2 nombres = la somme de ces 2 nombres au carré moins la différence de ces deux nombres au carré traduit par :4xy = (x+y)² - (x-y)²

Démonstration 4xy = (x+y)² - (x-y)²

4xy=x²+2xy+y²-(x²-2xy+y²)

4xy=x²+2xy+y²-x²+2xy-y²

les x² et y² disparaissent

4xy=+2xy+2xy

Avec cette expression Diophante nous offre la solution

Si nous remplaçons dans l'expression 4*x*y = (x+y)²-(x-y)² , x par n et y par (x-1) cela nous donne

(n)+(n-1) = n+n-1=2n-1 et (n)-(n-1) = n-n--1 = +1

si n est positif alors =>

Vérification : (n)(n-1)=1

remplaçons n par

(a+b)(a-b)=a²-b²

Pour +/-n

Soit n²=a , n a deux solutions -n ou + n ,  .(+/-n)²=a => 

Exemple si a = 49 , n = 7 ou -7 donc (+/-7)²=+49 => 

Reprenons la même démonstration :

Vérification : (n)(n-1)=1

remplaçons n par

(a+b)(a-b)=a²-b² , a²=+a*+a ou -a*-a

Deux nombres sont inverses tel que leurs produits = 1 : par exemple 5*1/5 = 1 , à ne pas confondre avec l'opposé (l'opposé de 5 est -5)

si * 1/ est bien égal à un nous avons observé dans la démontration ci-dessus qu'il existe un autre inverse de :

vérification :

(a+b)(a-b)=a²-b²